Quanto abbiamo appreso nei primi capitoli ci permette già di calcolare, con un' accettabile approssimazione, la traiettoria di qualunque proiettile, noti solamente la velocità iniziale, l'angolo di proiezione e le caratteristiche del proiettile stesso.
Un sistema che ci consente questo risultato è quello grafico di Brauer.
Abbiamo visto come l'aria eserciti una forza ritardatrice sul proiettile e abbiamo imparato a calcolare l'entità di questa forza . Volendo ora conoscere la velocità del proiettile dopo un certo tempo di volo, ad esempio dopo un secondo, non è possibile detrarre semplicemente dalla velocità iniziale la ritardazione corrispondente a tale velocità poichè, via via che la velocità diminuisce, cala anche la resistenza dell'aria ed il calcolo esatto della diminuzione di velocità comporterebbe il ricorso a matematiche superiori.
Non si commetterà però un grande errore se, invece di assumere la ritardaziore corrispondente alla velocità iniziale, si assumerà per essa un valore medio, corrispondente all'incirca al valore aritmetico medio della velocità nel tempo considerato

Vm= ½( Vo + V1) così che anche il vettore della ritardazione media sarà intermedio rispetto ai vettori corrispondenti a V1 e Vo .
I parametri di questo vettore, direzione e dimensione, possono essere ricavati agevolmente con una semplice costruzione grafica.

La figura riporta sull'asse delle ascisse le velocità e su quello delle ordinate le ritardazioni. Per un determinato tipo di proiettile si è supposta già calcolata e si è riportata la curva delle ritardazioni, con il metodo già illustrato nel capitolo relativo al coefficiente balistico.
La ritardazione si ottiene moltiplicando il coeff. balistico per il valore f(v) relativo alla velocità del proiettile nell'istante preso in considerazione.
In figura, sia OA il vettore che rappresenta, in entità direzione, la velocità iniziale del proiettile. Si voglia trovare l'analogo vettore-velocità alla fine del primo secondo di volo. Dopo mezzo secondo di volo il proiettile, per la legge dei gravi, avrà raggiunto una velocità di caduta pari a

AB = g/2 = 4,9 ms Eseguendo la somma dei vettori, CB rappresenterà quindi la velocità media durante il primo secondo di volo, nel vuoto. Per ottenere la velocità finale dopo un secondo dovremo detrarre da CB una certa ritardazione dovuta alla resistenza atmosferica: indichiamola con BD, riservandoci di illustrare in un secondo tempo il procedimento seguito per ricavarne l'entità. Dal punto D abbassiamo un tratto verticale DF=AB; OF rappresenterà vettorialmente la velocità al termine del primo secondo. In realtà si è commesso un errore, in quanto avremmo dovuto abbassare DF partendo da B, ma si tratta di un'approssimazione accettabile, considerato che la caduta per gravità raggiunge velocità assai inferiori a quella di volo.

La velocità media dopo il primo secondo di volo atmosferico, quindi, non sarà più OB , ma OC , che si ricava dividendo per due il tratto BD; il punto C si ottiene unendo A ad F . La ritardazione BD corrisponderà, con buona approssimazione, a quella relativa alla velocità media OC.

Se facciamo centro in O tracciando un arco di raggio 0C incontreremo l'asse delle velocità nel punto C'; a questa entità di velocità corrisponderà una ritardazione di entità pari a BD. Per ricavarla occorrerà costruire il triangolo isoscele di base pari all'altezza D'EB' , in cui DB = D'B' = EC'.
Ebbene,un triangolo di tali caratteristiche si ottiene quando l'angolo di base b ha tangente uguale a 2 e cioè

b = 63° 26'

In pratica si procederà nel modo seguente.
Non è necessario tracciare tutte le linee di cui alla figura, che finirebbero per sovrapporsi. E' conveniente usare carta millimetrata che facilita molto il lavoro; su di essa e scegliendo una scala adeguata, ma piuttosto piccola (ad esempio di 1:1000) si tracceranno l'asse delle ascisse per la velocità e quello delle ordinate per la ritardazione.

Applicando le nozioni apprese nel capitolo precedente, si calcolerà la ritardazione del proiettile alle varie velocità, ad esempio ogni 50 m/sec. di incremento (ma in prossimità della velocità del suono potrà essere consigliabile assumere intervalli più brevi) e si traccerà così la curva della ritardazione in funzione della velocità.

Dopo si procederà come segue: dal punto A si abbassa il tratto AB che con scala 1:1000 sarà pari a mm.4,9; con l'aiuto di un righello (il compasso ha un braccio troppo corto), si riporta 0B' = OB e si traccia un angolo di 63°26' fino ad incontrare la curva delle ritardazioni nel punto E. Si ricava quindi C'. Con il righello si riporta su OB OC'= OC e si trovano i punti D ed F. Si misura OF e il valore trovato, rapportato alla scala 1:1000, sarà la richiesta velocità finale dopo un secondo di volo. Dal punto F si abbassa di nuovo un tratto perpendicolare di mm. 4,9 (ed anzi, al fine di accelerare il lavoro, quando si traccia DF conviene tracciare direttamente il tratto DH lungo mm.9,81) e si procede come prima per ottenere la velocità V alla fine del 2° secondo.

La curva congiungente i vertici dei vettori che hanno origine dal punto O prende il nome di "ODOGRAFA" e riveste grande importanza negli studi di balistica razionale e di meccanica.

Vediamo ora un esempio pratico.
Sia da calcolare la traiettoria di un proiettile cal. 9 mm. parabellum del peso di 8 gr., sparato con la velocità iniziale di 327 m/sec. e con un angolo di proiezione di 24°.

Tracciata in fig.2 la linea delle ascisse e la linea di proiezione, si riporterà su di questa, in scala, il tratto OA pari a 327 metri.
Dopo di ciò si procederà al calcolo della curva di rítardazione. Posto che il coefficiente di forma sia pari ad 1 e utilizzando le tavole di Sängewald si avrà

Cb = (0,9² . 3.14 .1)/4 = 0,636 Rit. = (Cb . 9,81 . f(v))/8 = 780 . f(v) Si otterrà, quindi, per una serie di velocità, la relativa ritardazione V/ms     
Rit/ ms2
30         0, 83
50         2,32

90         7, 51
...          ...
260         67
280         83
300         108
Questi valori, riportati rispettivamente sull'asse delle ascisse e delle ordinate, consentiranno di tracciare la curva visibile in figura. Dopo di ciò si procede come già descritto, individuando il punto B, riportando OB = OB', fino a ricavare il punto C sul tratto OB.
Il tratto OC, misurato, ci darà la velocità media del proiettile durante il primo secondo di volo e, quindi, l'arco di traiettoria percorso in tale spazio di tempo.
Il tratto OF, misurato, ci darà invece la velocità finale del proiettile dopo un secondo di volo.
Dal punto F si ripartirà per calcolare i dati relativi al successivo secondo di volo, e così via, come mostrato in figura, fino a che velocità media e velocità finale finiranno per coincidere. Per il prosieguo del calcolo è necessario misurare anche la inclinazione dei vettori delle velocità medie rispetto all'ascissa (ad esempio per il primo, l'angolo AOB). I valori ricavati in figura saranno

Sec   V. media  V. finale   Angolo
 1    282           235      +24

 2    213           189      +21,5

 3    173           156      +19

 4    144           132      +15,5

 5    123           115      +11,5

 6    108           101      + 6,5

 7     96            90      + 1

 8     87            84      - 5

 9     80            78      -12

 10    76            75      -19

 11    75            73,5    -26

 12    73            73      -33

 13    73            73      -39

 14    73            73      -45

 15    73            73      -50

 16    73            73      -56

  

I valori delle velocità finali così trovati corrispondono quasi perfettamente con i valori riportati in letteratura.

Per costruire ora la traiettoria del proiettile, sarà sufficiente tracciare, uno di seguito all'altro, secondo l'entità e la direzione, i singoli vettori delle velocità medie.
Naturalmente bisognerà scegliere una scala che consenta di contenere il tracciato entro il foglio (ad es. 1:5.000).

Come mostrato in figura si riporterà il primo vettore 0-1 pari a 282 ms. e formante un angolo di 24° con l'asse delle ascisse; dal punto 1 si riporterà il vettore 2, pari a 213 m/sec. e formante un angolo di 21,5°; con il piano, e così via fino a raggiungere di nuovo l'asse delle ascisse dopo 15,6 secondi di volo.

I dati ottenuti, raffrontati con quelli riportati in letteratura sono

ottenuti in letteratura

gittata                1590 m.    1460 m.
ascissa al vert.   1025 m.     930 m.
ordinata " "          310 m.   300 m.
tempo di volo        15, 6"       14,6"
angolo caduta        56°        60°,
velocità caduta      73 m.      65 ms

Come si vede lo scarto, specialmente considerando il tipo di traiettoria con elevato angolo di proiezione, è quasi accettabile e migliorabile con una più precisa individuazione del coefficiente di forma.
Nel tracciare il disegno non occorre necessariamente procedere per intervalli di un secondo, ma possono scegliersi intervalli maggiori o minori, in modo da dividere la traiettoria in almeno 12-15 tratti. Dovendo procedere, ad esempio, al calcolo della gittata massima di un proiettile da moschetto, potrebbe essere utile calcolare la diminuzione di velocità ogni due secondi; naturalmente in tal caso, raddoppiando l'intervallo di tempo, bisognerebbe raddoppiare il tratto AB e i valori della ritardazione sulle ordinate; se si procedesse di mezzo secondo in mezzo secondo, occorrerebbe dimezzare detti valori.
Il sistema si presta anche al calcolo della traiettoria di proiettili d'artiglieria; questa normalmente raggiunge altezze notevoli e non è lecito quindi trascurare la diminuzione della densità dell'aria. Un risultato accettabile si otterrà introducendo nella formula per il calcolo della ritardazione un valore della densità dell'aria ottenuto facendo la media aritmetica tra il valore al suolo ed il valore al vertice.