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La perforazione di lastre sottili e la deformazione del proiettile

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  (Adattato da uno studio di W. Weigel, DWJ 1973/8/ pag.780)

I numeri indicano la posizione della lastra

Un proiettile 9 para sparato alla velocità di 350 ms è in grado di perforare 2,3 mm di piastra d'acciaio come può calcolarsi con la formula di Krupp.
Se però si sistemano una serie di lastre sottili, ad es. da 0,7 mm, alla distanza di due cm circa l'una dall'altra si scopre che non ne vengono perforate tre, come ci si attenderebbe in base alla formula o cinque se si calcola la quantità di energia dissipata da ogni lastra, ma bensì 15, con arresto della palla contro la sedicesima, che rimane ben deformata. Si scopre poi che i fori nelle prime 9 piastre sono precisi, rotondi e appena inferiore al diametro del proiettile; dalla decima in poi sono irregolari e di diametro superiore. Dalle prime 9 lastre vengono tranciati dischetti di 7 mm. di diametro; nelle piastre 10-11-12 il metallo è rivoltato all'infuori a corona e la deformazione sfrangiata cresce nelle lastre successive. Si constata che la deformazione del proiettile inizia solo a partire dalla 10° piastra.
Vediamo la spiegazione matematica del fenomeno.
Sia M la massa del proiettile che ipotizziamo cilindrico, m la massa del dischetto tranciato, Vo la velocità di impatto. V1 la velocità del proiettile e u la velocità del dischetto dopo l'attraversamento.
In base alle formule fisiche sull'impulso e la conservazione di energia, si avrà

M · Vo = M · V1 + m · u
M · (Vo)2 = M · (V1)2 + m · u

Da cui si ricava
u = Vo + V1
 

L'energia trasmessa al dischetto dall'urto deve quindi essere sufficiente per tranciarlo. Il rapporto tra le velocità del proiettile prima e dopo l'impatto è quindi costante e viene indicato con la lettera a.
Vale a dire che se vengono perforate a questo modo x lastre con un urto esclusivamente elastico, si avrà
Vx = Vo · ax
E per l'energia
Ex = Eo · a2x


Rimangono da perforare y lastre. Il lavoro di tranciatura richiesto sia A. L'energia residua si ripartirà su y perforazioni secondo (Formula 1)

y · A = Eo · a2x


Il punto limite a questo effetto si raggiunge quando l'energia del dischetto tranciato diventa più piccola del lavoro necessario.
A = (m · u2) / 2


Poiché u = Vo + V1 si può scrivere (Formula 2)

A = 1/2 · m ·(Vo)2 · (ax-1 + ax)2

Essendo noti A, m, Vo si può calcolare x dalla formula 2 e poi y dalla formula 1. Il numero complessivo di lastre forate con tranciatura sarà pari a x + y

Esempio di calcolo
Sia il proiettile in cui M = 8 g, Vo= 350 ms, Eo = 50 kpm; lo spessore delle piastre sia 0,7 mm e quindi la massa del dischetto m = 0,35 g. Si avrà
a = ( 8 - 0,35) / (8 + 0,35) = 0,87
5
Se si pone la resistenza del materiale alla tranciatura pari a 5000 kp/cmq si ha A= 0,7 kpm circa e la formula 2 diventa
0,7 = 1/2 · (0,35 · 10-4) · 3502 · (0,875x-1 +0,875x)2

da cui x - 1 = 8,9
Vale a dire che vengono perforate 10 lastre in modo elastico; le restanti in modo anelastico, come già sperimentato.

La deformazione del proiettile
La deformazione del proiettile subentra solo dopo la decima lastra quando la velocità si è ridotta a
V = 350 · 0,8759 = 105 ms

Presupposto per la deformazione è quindi un urto anelastico.
Per studiare meglio il fenomeno, prendiamo diversi materiali e ciò legno di faggio con lo spessore s e palla di piombo nudo.
Per il legno di faggio si ha (Formula 3)
S = c · [(Vo)1,5 - (V1)1,5]

Ponendo c = (0,01 · M) / k2 (si ricorda che per il legno di abete c è tre volte maggiore)
Si può quindi calcolare la velocità di uscita V1 e la perdita di velocità Dv.(il simbolo D sostituisce il Delta maiuscolo greco
Il tempo di attraversamento sarà dato da
Dt = (2 · s) /(Vo + V1)

e la forza che agisce sul fronte del proiettile
K = (M · Dv) / Dt

Ora si trova la parte di energia che agisce deformando il proiettile rispetto alla energia totale consumata se trasferiamo questo sistema al proiettile in volo.
Data la perdita di velocità Dv, l'energia per la deformazione sarà (Formula 4)
Es = M · (Dv)2 / 2

La forza occorrente Ks è uguale alla resistenza alla deformazione:
R = F · P

Ks = F · D

Ove F è la superficie della sezione del proiettile e P la durezza del piombo.
Infine l'accorciamento x del proiettile sarà dato da
x = Es / Ks


La forza K diminuisce in direzione della base del proiettile in modo più che lineare poiché la massa "spingente" diviene sempre più piccola. La deformazione cessa quando K = F · D. Poiché la forza non è costante lungo il percorso del proiettile non si ottiene un proiettile più corto ma di maggior dimetro, bensì un proiettile a fungo.
Esempio di calcolo
Sia s = 1cm, M = 10,2 , Vo= 300 ms, D = 700 kp/cmq, sarà per la formula 3


da cui
V1 = 269 ms; (v = 31 ms


E in base alla formula 4

Anche Ks sarà eguale a 441.

L'accorciamento sarà dato da x = 0,487/441 = 0,0011 mm

Se si calcola l'accorciamento alle varie velocità si ottiene (valori arrotondati)

Vo V1 Dv Es K x
300 269 31 0,487 900 1.10
250 215 35 0,625 830 1,41
200 160 40 0,816 735 1,85
150 103 47 1,120 605 2,53

Si conclude quindi che il proiettile viene tanto più deformato quanto più bassa è la velocità d'impatto. Conclusione confermata dagli esperimenti del Sellier che nella perforazione di ossa cave ha riscontrato una deformazione completa a 150 ms mentre a 370 ms si verificava solo una minima deformazione della punta del proiettile. A velocità intermedia (250 ms) il proiettile era deformato solo per un terzo.
Nella perforazione di ossa del cranio il proiettile si deforma a fungo già a basse velocità.

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