Enciclopedia delle armi - a cura di Edoardo Mori
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Balistica esterna

Grafico della traiettoria

Nomenclatura della traiettoria

Traiettoria è la linea curva percorsa nello spazio dal centro di gravità del proiettile durante il suo movimento.
O Origine della traiettoria; è il centro della bocca dell'arma (volata) al momento della sparo.
B Punto di arrivo e cioè il bersaglio mirato; è il punto in cui la linea di sito interseca la traiettoria.
C Punto di caduta; corrisponde all'intersezione del ramo discendente della traiettoria con la linea di orizzonte dell'arma. Può coincidere con il punto B se questo si trova sulla linea di orizzonte.
V Vertice della traiettoria, cioè il punto più alto che la divide nel ramo ascendente (OV) e nel ramo discendente (VC).
OP Linea di proiezione; è il prolungamento dell'asse della canna al momento in cui il proiettile abbandona l'arma; in termini geometrici è la tangente all'origine della traiettoria.
OT Linea di tiro. È il prolungamento dell'asse della canna puntata, prima dello sparo; passerà nella posizione P per effetto del rilevamento.
OB Linea di sito di un punto B della traiettoria; è la retta che congiunge l'origine della traiettoria col punto stesso; è cioè la linea retta che congiunge la volata con il bersaglio.
x Ascissa di un punto B (ad es. OM), è la distanza del punto B dall'origine misurata sull'asse orizzontale.
xo Ascissa al vertice (ON).
X Gittata OC, è la distanza tra l'origine e il punto di caduta.
Y Altezza della traiettoria o ordinata massima o ordinata al vertice; è il punto della traiettoria più alto sulla linea dell'orizzonte.
h Ordinata di un punto B (es. BM), è l'altezza del punto B rispetto all'orizzonte.
BOC Angolo di sito e .
POB Angolo di partenza g .
POC Angolo di proiezione f compreso fra la linea di proiezione e l'orizzonte .
POT Angolo di rilevamento r ; è l'angolo formato dalla linea di proiezione con la linea di tiro.
TOB Angolo di elevazione a ; è l'angolo formato dalla linea di tiro con la linea di sito e corrisponde al cosiddetto alzo.
TOC Angolo di tiro i che la linea di tiro forma con l'orizzonte.
OCR Angolo di caduta w è l'angolo acuto formato dalla tangente alla traiettoria nel punto di caduta con la linea d'orizzonte.
OBL Angolo di arrivo q ; è l'angolo formato dalla tangente alla traiettoria con la linea di sito nel punto di arrivo B; non confonderlo con l'angolo di impatto che è l'angolo formato dalla tangente alla traiettoria con il terreno nel punto B e dipende perciò dall'andamento del terreno.

La balistica è quel ramo della fisica che studia il moto dei proiettili che avviene all'interno della canna dell'arma (balistica interna), nello spazio esterno (balistica esterna) e, infine, entro il bersaglio colpito (balistica terminale).
Nello spazio esterno il proiettile percorre una traiettoria che è il risultato di tre distinte forze (qui trascurando dati che interessano solo per missili o proiettili a lunghissima gittata): l'impulso iniziale che gli imprime un moto uniforme e rettilineo, la resistenza dell'aria che si oppone ad esso in senso contrario, la forza di gravità che tende a far cadere il proiettile verso il suolo con moto uniformemente accelerato.
La resistenza dell'aria assume un ruolo rilevante per proiettili veloci e quindi, per proiettili molto lenti (artiglierie antiche, frecce, sassi) può essere pressoché trascurata (per un mortaio ottocentesco la differenza rispetto alla traiettoria nel vuoto era soltanto del 10%).
Il calcolo del moto di un proiettile nel vuoto è alquanto semplice.

Grafico della caduta

ricaviamo che dopo un secondo (t) il proiettile sarà caduto dello spazio s fino al punto A, dopo due secondi fino al punto B, dopo tre secondi fino al punto C, e così via. Collegando tutti i punti A, B, C, ... si ottiene la traiettoria percorsa dal proiettile. Essa è rappresentata da una parabola simmetrica in cui l'angolo di partenza è eguale all'angolo di caduta, la velocità iniziale è eguale alla velocità finale e il vertice la divide in due rami simmetrici. Essa può essere calcolata conoscendo solo i parametri V (velocità iniziale) e (angolo di partenza).

La gittata X si ottiene dalla formula

da cui si deduce che la gittata massima si ottiene con un angolo di partenza di 45° quando il valore del seno dell'angolo è eguale ad uno; il che significa, ad esempio, che, trascurando la resistenza dell'aria, una freccia lanciata alla velocità di 100 m/s arriva al massimo alla distanza di 1019 metri.

Il tempo di volo del proiettile fino ad una data distanza è dato da

Quando il moto del proiettile invece che nel vuoto avviene nell'aria, assume importanza fondamentale la forza ritardatrice dovuta alla resistenza del mezzo. Un proiettile cal. 9 Para con V0 = 330 m/s, che nel vuoto avrebbe una gittata massima di 11.100 metri, nell'aria ha una gittata massima di circa 1500 metri; un proiettile di moschetto è assoggettato ad una forza ritardatrice che riduce la sua velocità finale ad 1/6 di quella iniziale. La traiettoria percorsa non è quindi simmetrica, ma ad un ramo ascendente più lungo, segue un ramo discendente più curvo e corto così che l'angolo di caduta è maggiore dell'angolo di partenza.
In linea generale la traiettoria è tanto più curva quanto più lento è il proiettile per il fatto che la forza di gravità agisce più a lungo. Il peso del proiettile, a parità di velocità, non incide sulla maggiore o minore curvatura della traiettoria ed in teoria, a parità di forma e di velocità iniziale, il maggior peso rende più tesa la traiettoria, sia pure in misura trascurabile alle distanze venatorie (infatti se il proiettile pesa di più, a parità di calibro aumenta la sua lunghezza e la densità sezionale e migliora quindi il suo comportamento balistico). In pratica però, specie nelle armi leggere, il proiettile più pesante viene sparato a velocità inferiori rispetto ad un proiettile leggero, con la conseguenza che la sua traiettoria sarà meno tesa.
Il calcolo della resistenza dell'aria e della relativa ritardazione, è semplice per velocità inferiori ai 200 m/s per cui si può assumere che la resistenza vari con tasso inferiore al quadrato della velocità, ma diventa difficile a velocità superiori in cui essa varia con un tasso assai maggiore, con un'impennata per velocità prossime al muro del suono, ed è influenzata da numerosi fattori, quali la densità dell'aria alle diverse altezze raggiunte (e con il variare della densità varia la velocità del suono e quindi la ritardazione), i moti di oscillazione e di precessione del proiettile durante il volo, ecc. Ovviamente poi la resistenza varia a seconda della forma più o meno aerodinamica del proiettile e risultati precisi si possono ottenere solo su basi sperimentali, redigendo per ogni proiettile apposite tavole di tiro, cosa che fa ogni esercito per le sue artiglierie.
Per calcoli di una certa approssimazione, si sono però studiate delle leggi generali di resistenza dell'aria, più che sufficienti per scopi pratici: dopo aver tracciato sperimentalmente le curve della resistenza dell'aria riferite a diversi tipi di proiettile, si è ricavata una curva intermedia teorica o riferita ad un proiettile tipo; da questa, introducendo un coefficiente (coefficiente balistico, ricavato dal suo calibro e dal suo peso, integrato dal coefficiente di forma "i", ricavato dalla forma del proiettile), che indicano il rapporto tra proiettile tipo e proiettile in esame, si risale ai valori reali.
La formula per il coeff. balistico è data da

in cui il calibro C è espresso in millimetri. Il valore di i è il dato più difficile da calcolare anche perché varia in relazione alla velocità; in via di prima approssimazione si può ritenere che esso vari da 0,44 per proiettili appuntiti, tipo quelli per moschetto militare, a 1 - 1,2 per proiettili da pistola o rivoltella, fino a 3 - 4 per proiettili cilindrici (wad cutter).
In tempi più recenti in luogo del concetto di coefficiente balistico si è introdotto quello di coefficiente aerodinamico Cx che per i proiettili varia da 0,1 a 0,5. Anch'esso non è costante, ma varia in relazione alla velocità espressa in Mach.
Il calcolo di una traiettoria di un proiettile moderno è comunque estremamente complicato e richiede l'impiego di matematiche superiori. Si può ovviare con l'impiego di metodi grafici o di tavole di ritardazione già compilate, ma si tratta comunque di attività laboriose. Attualmente sono in commercio numerosi programmi di balistica per computer, limitati però a traiettorie di pratico impiego, di poche centinaia di metri e tese, in cui l'angolo di proiezione non supera i 5°.

La gittata massima
Non è possibile indicare una semplice formula matematica che consenta di calcolare con buona approssimazione la gittata massima di un proiettile, cioè la massima distanza a cui il proiettile può arrivare nella migliore delle ipotesi.

In via molto approssimata può usarsi la mia formula

in cui P è il peso in grammi, V la velocità in m/s, C il calibro in millimetri ed i il fattore di forma. Essa è valida principalmente per proiettili oltre i 10 mm.
Un'altra formula approssimativa richiede la conoscenza della velocità iniziale e della velocità residua ad una data distanza y, che qui si assume = a 100 metri.
La gittata massima sarà data da

gittata

in cui k è un coefficiente pari a 300 per proiettili da pistola e 380-400 per proiettili per fucile.
Nel vuoto, come detto, la gittata massima si ha con un angolo di proiezione di 45°. Nell'aria l'angolo è inferiore (salvo il caso di proiettili di grosso calibro con velocità iniziale superiore a 1400 m/s che viaggiano per un tratto negli strati alti dell'atmosfera) e, per proiettili di armi portatili l'angolo ottimale è compreso tra i 30° ed i 35°, tenendo però presente che la gittata non cresce di molto oltre un certo angolo; così, ad es., un proiettile militare cal. 7,62x54 che con un angolo di 35° raggiunge la gittata massima di 3650 m., con un angolo di 19° raggiunge una gittata di circa 3500 m, inferiore di soli 150 m.
Per un orientamento generale si riportano le gittate massime dei più comuni proiettili per armi leggere.
Calibro Velocità m/s Gittata in m.
4,5 mm aria compressa 120/165 100/150
4,5 mm aria compressa 200/250 200/300
6/9 mm Flobert 225 700
.22 corto 260 1000
.22 Long Rifle 350 1370
.22 Long Rifle HS 370 1500
.22 Winch. Magnum 610 1800
243 Winch. 1070 3200
6,35 mm 220 800
7,65 mm 285 1300
9 mm corto 285 1300
9 mm Para 350 1700
.45 ACP 300 1620
30 M1Carb. 600 2000
7x70 mm 830 3500
8x57 mm JS 830 3500
6,5x57 mm 1020 4000
7x57 mm 850 4500
6,5x68 mm 1150 5000

Siccome la mia formula non è il massimo per precisione, riporto un utile nomogramma che consente di calcolare i valori per la gittata massima. Non va bene per piccoli proiettili, perché il valore di ingresso nella tavola è troppo piccolo.

Nomogramma per la gittata massima, tempo di volo e angolo di proiezione
Il seguente nomogramma, tratto dal manuale della Rheinmetall, consente di calcolare graficamente e con buona approssimazione la gittata massima in relazione a calibro e peso del proiettile ed alla velocità iniziale.
Esso è basato su di un proiettile teorico (legge di resistenza della Rheinmetall) con Cx= 2 alle basse velocità, e Cx = 4 alle velocità supersoniche.
In rapporto alle leggi di resistenza su cui si basano le tavole usuali (Siacci, Saengewald) si ha i=1 fino alla velocità di 320 m/s; da 360 m/s in poi si può assumere i=1,5
In relazione alla gittata massima individuata si può leggere poi e l'angolo di proiezione che consente di ottenerla e il relativo tempo di volo.

Facendo un esempio pratico, si procederà così: Calibro 26 mm (raggio 13 mm)
Peso      440 gr.
Vo      600 ms
Occorre trovare il valore da 0 a 40 con cui entrare nella tavola ed esso sarà dato dal fattore di forma i diviso per la densità sezionale Q (kg/mq); se il proiettile ha forma standard i=1 il valore ricercato è dato dal valore reciproco di Q. La superficie della sezione sarà data da 3,14 x 13² = 530 mmq e quindi il valore ricercato, moltiplicato per 10 al fine di eliminare inutili virgole, sarà dato da

10* i / (440/530)= 12
Se ora dal valore 12 eleviamo una perpendicolare fino ad incontrare la linea continua per il valore di 600 ms, troviamo che l'incrocio avviene ad un valore di gittata massima pari a 8 Km. Lo stesso punto di incrocio ci dice che l'angolo di proiezione che consente la gittata massima è di circa 41° e che il tempo di volo è di circa 45 secondi.
Il nomogramma va stampato con buona definizione ed in formato A4 e perciò lo unisco zippato.
Nomograma zippato di 156 Kb

Il tiro verticale
Un proiettile sparato verticalmente verso l'alto raggiunge un'altezza pari a circa il 70% della gittata massima. Nel ricadere verso il basso il proiettile aumenta progressivamente la sua velocità, come qualsiasi corpo in caduta libera, finché la ritardazione dovuta alla resistenza dell'aria non eguaglia la forza di gravità; da quel momento la velocità del proiettile rimane costante (velocità limite). Se il proiettile è stato sparato proprio verticalmente, e quindi non compie alcuna traiettoria, ricadrà con il fondo piatto verso il suolo e offrirà una grande resistenza all'aria così che la sua velocità finale sarà di circa 30-50 m/s, non idonea a provocare lesioni ad una persona. Se è stato sparato con un piccolo angolo rispetto alla verticale, si capovolge e ricade con la punta in avanti; un proiettile di pistola può raggiungere i 100 m/s e uno di moschetto i 180 m/s, del tutto idonei a provocare gravi lesioni (si consideri che quest'ultimo può ancora penetrare per 30-40 cm nel corpo umano).

Il proiettile ricade in genere nel raggio di una decina di metri dal tiratore, ma può essere spostato dal vento anche di 200 metri. Il tempo che un proiettile di moschetto impiega a ricadere è di circa 30 secondi se con la punta in avanti e di oltre il doppio se è capovolto, il che può dar luogo a ferite apparentemente inspiegabili.

L'influenza del vento
L'influenza del vento che spira a favore o contro il proiettile può essere trascurato per le normali distanze d'impiego delle armi leggere. Ha invece un'influenza significativa quando soffia trasversalmente alla traiettoria. Il calcolo può essere solo molto approssimativo poiché il vento non è costante, ma soffia a raffiche e non ha velocità costante poiché essa varia in relazione ad ostacoli ed alla distanza dal suolo. Supposto comunque che si possa ipotizzare una certa velocità e che il vento soffi perpendicolarmente alla traiettoria, trova applicazione la formula di Didion la quale ci dice che lo spostamento D, in metri, del proiettile dal punto mirato, ad una data distanza X, è dato dalla velocità del vento W moltiplicata per la differenza tra tempo di volo nell'aria T e tempo di volo nel vuoto per il valore di X considerato, e cioè

A titolo di esempio si consideri che un vento di 10 m/s (vento sensibile che alza polvere e piega alberelli), sposta un proiettile di fucile militare, su di un bersaglio posto a 300 metri, di circa 50 cm.

Se il vento non è perpendicolare ma forma un certo angolo "a " con la traiettoria, il risultato D dovrà essere moltiplicato per il valore di cos2a .

Densità dell'aria
La densità dell'aria determina la resistenza al moto del proiettile e, come si è visto, entra in tutte le formule concernenti la resistenza dell'aria Essa varia in relazione alla temperatura ed alla pressione atmosferica e, in misura minore in relazione all'umidità.
Con formula molto approssimata, la densità dell'aria, che viene essere assunta pari a 1,225 kg/mc nell'atmosfera standard al livello del mare ed alla temperatura di 15 gradi, può essere calcolata con la seguente formula, nota la temperatura e la pressione atmosferica in millimetri di mercurio,

Ricordo che la pressione in mm di mercurio si ottiene moltiplicando la pressione in millibar per 0,75 e che la temperatura, in linea di massima, diminuisce di 0,65 gradi quando si sale di 100 metri.

Quando non si conosce la pressione atmosferica ma solo l'altitudine H del luogo ove si sviluppa la traiettoria del proiettile, la formula di cui sopra diventa

Per gli usi normali di un'arma nelle nostre regioni, la densità dell'aria può però essere trascurata dallo sparatore; in genere la diminuzione di densità dovuta al crescere dell'altitudine, viene compensata dalla diminuzione di temperatura e, comunque, il fatto di sparare in un'atmosfera meno densa, come avviene in alta montagna, comporta un miglioramento della traiettoria che sarà più tesa.

La derivazione del proiettile
Una canna rigata ha al suo interno le cosiddette righe che, come la filettatura di di una vite, si sviluppano con un certo passo (tratto di canna in cui il proiettile compie una intera rotazione su se stesso)e con un certo angolo di rigatura (inclinazione della rigatura rispetto all'asse longitudinale della canna); il rapporto che lega l'angolo di rigatura con il passo è dato dalla formula

F22

in cui P indica il passo espresso in calibri.
La velocità di rotazione dei proiettile è data dalla formula

Nr.giri al secondo = V /passo in cm

in cui V è la velocità alla bocca in ms.
La rotazione del proiettile nell'aria provoca l'insorgere di forze, dovute all'effetto Magnus e all'effetto giroscopico che spostano il proiettile lateralmente. Fino ad angoli di elevazione non superiori a 60-70 gradi gradi lo spostamento è vero destra se la rigatura è destrorsa, verso sinistra se la rigatura è sinistrorsa. Al di sopra dei 70 gradi la direzione dello spostamento diviene oscillante e dopo gli 80 gradi si inverte (a sinistra per rigatura destrorsa.)
Per gittate brevi questa derivazione del proiettile viene corretta mediante la taratura dei congegni di mira. In armi in cui non vi sono congegni di mira, oppure per distanze che superano quella per cui i congegni sono tarati, occorre tener conto della derivazione, per nulla trascurabile e che, con buona approssimazione è data dalla formula

F24

in cui X è la gittata in metri e l'angolo è quello di proiezione.Il risultato D è espresso in metri.

Un'altra formula, ancora più approssimata ci dice che la derivazione, in metri, è pari a 0,11 moltiplicato per il tempo di volo al quadrato (il valore 0,11 è un valore medio che andrebbe calcolato per ogni proiettile).

Raccolta di formule approssimate
Qui di seguito riporto alcune formule molto approssimative che consentono di ottenere valori orientativi partendo da altri valori noti.
1) Ordinata per una distanza x non troppo grande

2) Angolo di proiezione nota la gittata massima

3) Angolo di proiezione noto il tempo di volo

4) Ordinata massima

5) Ordinata massima noto il tempo di volo (formula di Haupt)

6) Ordinata massima noti gittata e angoli di partenza e caduta

7) Ascissa del vertice nota la gittata

8) Ascissa del vertice nota la gittata e la velocità iniziale

9) Ascissa del vertice noti la gittata, l'ordinata e l'angolo di partenza

10) Velocità del proiettile al vertice

11)Angolo di caduta noti tempo di volo, gittata e velocità di caduta

12) Angolo di caduta noti gittata, ordinata e angolo di partenza

13) Velocità di caduta


Tavola di raffronto tra i valori calcolati con le formule approssimate e i valori effettivi

Formula Cal. 8x57

calcolato   esatto

Cal 9 Para

calcolato  esatto

Cal.7,5 cm =10°

calcolato   esatto

Cal.7,5 cm =4

calcolato   esatto

1       y 79,3          79
3       f 2°47'     3°7'30" 9°48'            11° 10°2'         10° 45°8'       40°
4       yv 38 m           41 94                85 99,3           99 1251       1251
5        " 37,95          41 82                85 101            99 1237       1251
6        " 36               41 82                85 99              99 1255       1251
7       xv 1100 m       1168 660             740 1188       1102 2980       2833
8        " 1151           1168 639             740 1136       1102 2850       2833
9        " 1250           1168 737             740 1101       1102 2854       2833
10     Vv 240         239,6 170         170
11     w 6°38'            6°6' 24°36'           25° 10°54'     10°50' 54°          45°25'
12      " 9°20'            6°6' 27°34'           25° 10°48'     10°50' 45°45'     45° 25'
13     Vc 253 m/s       245 89                 81 241             230 209          208
14    X-x 345             349 1298        1466
15      " 340             349 1298        1466
16      h 66               55 1084        1029
17      t 7",6          7",47 23"          22",35
18      T 5",7           5",51 8",6             8",1 8",8              9" 23"          31",92
19      T 5",22         5",51 7",6             8",1 9",75            9" 33",7       31",92
20      y 41,37m         41 101              85 99               99 1235       1231

 


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